Текстовые задачи на движение и работу: 10 задач с разбором

Текстовые задачи на движение и работу — устойчивая классика школьных контрольных и экзаменов. Пугают они обычно не вычислениями, а переводом условия на язык уравнений. Ниже собраны десять задач двух самых частых сюжетов: равномерное движение (в том числе по реке) и совместная работа. Сначала пробуйте составить уравнение сами, а затем сверяйтесь с кратким разбором.

Движение: три опоры

Вся школьная механика держится на формуле $s = v \cdot t$ , откуда $t = \dfrac{s}{v}$ . Дальше — три приёма, которых хватает почти для любой задачи:

Движение по реке. Если собственная скорость лодки $v$ , а скорость течения $u$ , то по течению лодка идёт со скоростью $v + u$ , а против течения — со скоростью $v - u$ .
Таблица «скорость — время — путь». Заведите строку для каждого участника движения и выразите время в виде дроби $\dfrac{s}{v}$ .
Уравнение на разность времён. Слова «прибыл раньше», «вышел позже», «задержался» означают, что разность двух дробей вида $\dfrac{s}{v}$ равна известному числу часов. Минуты сразу переводите в доли часа.

Начнём с базовой конструкции: два поезда, один и тот же путь, известна разность времён.

Расстояние между станциями пассажирский поезд проходит на 1 ч 45 мин быстрее, чем грузовой. Определите это расстояние, если известно, что скорость пассажирского поезда равна 60 км/ч, а товарного — 40 км/ч.

Разбор. Пусть $s$ км — расстояние между станциями. Грузовой поезд был в пути на $1$ ч $45$ мин $= \dfrac{7}{4}$ ч дольше:

$\dfrac{s}{40} - \dfrac{s}{60} = \dfrac{7}{4}.$

Сложим дроби в левой части: $\dfrac{3s - 2s}{120} = \dfrac{s}{120}$ , поэтому $\dfrac{s}{120} = \dfrac{7}{4}$ , откуда $s = 210$ .

Ответ: 210 км. Следующая задача устроена так же, только «лишнее» время появляется из-за задержки в пути.

Из-за 10-минутной задержки поезда в пути ему пришлось на перегоне в 60 км увеличить скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Разбор. Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость. По расписанию перегон занял бы $\dfrac{60}{v}$ ч, фактически — $\dfrac{60}{v+5}$ ч, и разница составляет $\dfrac{10}{60} = \dfrac{1}{6}$ ч:

$\dfrac{60}{v} - \dfrac{60}{v+5} = \dfrac{1}{6}.$

В левой части $\dfrac{60 \cdot 5}{v(v+5)} = \dfrac{300}{v(v+5)}$ , значит, $v(v+5) = 1800$ , то есть $v^2 + 5v - 1800 = 0$ . Дискриминант $D = 25 + 7200 = 7225 = 85^2$ , поэтому $v = \dfrac{-5 + 85}{2} = 40$ ; отрицательный корень не подходит по смыслу.

Ответ: 40 км/ч. Здесь сдвиг возник из-за замедления; в следующей задаче — из-за позднего старта.

Из пункта М в пункт N, расстояние между которыми 210 км, выехал автобус, а через 30 мин — другой автобус со скоростью, на 10 км/ч большей. Найдите скорость первого автобуса, учитывая, что в пункт N они прибыли одновременно.

Разбор. Пусть $v$ км/ч — скорость первого автобуса, тогда скорость второго равна $v + 10$ км/ч. Первый автобус был в пути на полчаса дольше:

$\dfrac{210}{v} - \dfrac{210}{v+10} = \dfrac{1}{2}.$

Отсюда $\dfrac{210 \cdot 10}{v(v+10)} = \dfrac{1}{2}$ , то есть $v(v+10) = 4200$ , $v^2 + 10v - 4200 = 0$ . Дискриминант $D = 100 + 16800 = 16900 = 130^2$ , значит, $v = \dfrac{-10 + 130}{2} = 60$ .

Ответ: 60 км/ч. Переходим к движению по реке, где течение то помогает, то мешает.

Моторная лодка прошла по течению реки 14 км, а затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скорость течения реки, если скорость лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

Разбор. Пусть $x$ км/ч — скорость течения. Тогда время движения по течению равно $\dfrac{14}{5+x}$ ч, против течения — $\dfrac{9}{5-x}$ ч:

$\dfrac{14}{5+x} + \dfrac{9}{5-x} = 5.$

Умножим обе части на $(5+x)(5-x)$ :

$14(5-x) + 9(5+x) = 5(25 - x^2),$

$115 - 5x = 125 - 5x^2, \qquad x^2 - x - 2 = 0.$

Корни: $x = 2$ и $x = -1$ . Скорость течения положительна, поэтому $x = 2$ . Проверка: $\dfrac{14}{7} + \dfrac{9}{3} = 2 + 3 = 5$ ч.

Ответ: 2 км/ч. Завершает тему движения задача «туда и обратно».

Велосипедист проехал 10 км от города до турбазы. Возвращаясь обратно, он снизил скорость на 5 км/ч. На весь путь туда и обратно велосипедист затратил 1 ч 40 мин. Найдите скорость, с которой велосипедист ехал из города до турбазы.

Разбор. Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста на пути из города на турбазу; обратно он ехал со скоростью $v - 5$ км/ч. Общее время равно $1$ ч $40$ мин $= \dfrac{5}{3}$ ч:

$\dfrac{10}{v} + \dfrac{10}{v-5} = \dfrac{5}{3}.$

Умножим на $3v(v-5)$ : $30(v-5) + 30v = 5v(v-5)$ , то есть $5v^2 - 85v + 150 = 0$ , или $v^2 - 17v + 30 = 0$ . Корни: $v = 15$ и $v = 2$ . При $v = 2$ обратная скорость $v - 5$ оказалась бы отрицательной, поэтому подходит только $v = 15$ .

Ответ: 15 км/ч.

Работа: вся работа равна единице

В задачах на работу объём всей работы принимают за $1$ . Тогда производительность — это доля работы за единицу времени: если на всё задание уходит $t$ часов, производительность равна $\dfrac{1}{t}$ . Ключевое свойство: при совместной работе производительности складываются. Начнём с разминки.

Мастер выполняет всю работу за 3 ч, а его ученик — за 6 ч. Какую часть работы они сделают вместе за 1 ч?

Разбор. За час мастер выполняет $\dfrac{1}{3}$ всей работы, ученик — $\dfrac{1}{6}$ . Вместе: $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2 + 1}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Ответ: $\dfrac{1}{2}$ работы. Та же логика, но с вопросом «за сколько часов» — в следующей задаче.

Первая труба заполняет бассейн за 10 ч, а вторая — за 15 ч. За сколько часов будет наполнен бассейн при одновременной работе двух труб?

Разбор. Совместная производительность труб: $\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3 + 2}{30} = \dfrac{1}{6}$ бассейна в час. Значит, весь бассейн наполнится за $1 : \dfrac{1}{6} = 6$ ч.

Ответ: 6 ч. Теперь совместная работа, в которой времена заранее неизвестны.

При совместной работе двух подъемных кранов баржа была загружена за 4 ч 12 мин. Сколько времени потребуется на загрузку такой же баржи каждым краном, если одним краном баржу можно загрузить на 8 ч быстрее, чем другим?

Разбор. $4$ ч $12$ мин $= 4\dfrac{1}{5} = \dfrac{21}{5}$ ч. Пусть быстрому крану нужно $x$ часов, тогда медленному — $x + 8$ часов:

$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+8} = \dfrac{5}{21}.$

Умножим на $21x(x+8)$ : $21(2x + 8) = 5x^2 + 40x$ , то есть $5x^2 - 2x - 168 = 0$ . Дискриминант $D = 4 + 3360 = 3364 = 58^2$ , откуда $x = \dfrac{2 + 58}{10} = 6$ . Тогда медленному крану нужно $6 + 8 = 14$ часов.

Ответ: 6 ч и 14 ч. Разберём ещё одну разновидность — когда известны отношения производительностей.

Производительности труда двух наборщиц относятся как 3 : 5. Работая вместе, они выполнят работу за 15 ч. За сколько часов каждая справится с данной работой, работая отдельно?

Разбор. Вместе за час наборщицы выполняют $\dfrac{1}{15}$ всей работы. Эта доля состоит из $3 + 5 = 8$ одинаковых частей, поэтому одна часть равна $\dfrac{1}{15} : 8 = \dfrac{1}{120}$ . Производительности равны $\dfrac{3}{120} = \dfrac{1}{40}$ и $\dfrac{5}{120} = \dfrac{1}{24}$ , а времена работы — $40$ ч и $24$ ч.

Ответ: 40 ч и 24 ч. Завершает подборку задача, где работа идёт по плану, а реальность вносит поправки.

Фермеру необходимо было за определенное время вспахать поле площадью 180 га. Поскольку прогноз погоды был неблагоприятным, то ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней фермер вспахал поле?

Разбор. Пусть по плану фермер собирался вспахивать $x$ га в день; тогда план был рассчитан на $\dfrac{180}{x}$ дней. Фактически он вспахивал по $x + 2$ га в день и закончил за $\dfrac{180}{x+2}$ дней — на $1$ день раньше срока:

$\dfrac{180}{x} - \dfrac{180}{x+2} = 1.$

Отсюда $\dfrac{180 \cdot 2}{x(x+2)} = 1$ , то есть $x^2 + 2x - 360 = 0$ . Дискриминант $D = 4 + 1440 = 1444 = 38^2$ , значит, $x = \dfrac{-2 + 38}{2} = 18$ . Фермер вспахал поле за $\dfrac{180}{18 + 2} = 9$ дней.

Ответ: 9 дней.

Чек-лист перед решением

Приводите время к одним единицам: $10$ мин $= \dfrac{1}{6}$ ч, $1$ ч $45$ мин $= \dfrac{7}{4}$ ч.
В задачах на движение стройте таблицу и уравнение на время; на участке «против течения» скорость реки вычитается, а не прибавляется.
В задачах на работу складывайте производительности, а не времена: $\dfrac{1}{t_1} + \dfrac{1}{t_2}$ , а вовсе не $t_1 + t_2$ .
Квадратное уравнение даст два корня — оставьте тот, что подходит по смыслу: скорости и времена должны быть положительными.

Решите все десять задач самостоятельно, а разборы используйте для самопроверки: совпал ответ — приём освоен.

Текстовые задачи на движение и работу: 10 задач с разбором

Движение: три опоры

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Пример 5

Работа: вся работа равна единице

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Чек-лист перед решением